BUG+1：為什麼需要解的唯一性這一前提？

只找到一個有三個候選數的格子就夠了嗎？

BUG+1利用的是唯一解謎題中幾乎所有空格都只有兩個候選數的特殊狀態。但僅憑「一個格子有三個候選數，其餘都是兩個」的表面形狀還不夠。還要檢查數字在各行列中的出現次數，最重要的是，需要解的唯一性這一前提。

解的唯一性與每行、每列、每宮中1至9各出現一次的規則，是兩回事。滿足全部規則的完整盤面也可能有兩個或更多。對於自行輸入的盤面或刪去已知數的盤面，請先確認解的唯一性。

適用條件——先確認前提，再檢查格子數量與各行列的次數

1. 當前盤面必須有唯一解，而且之前填入的數字與排除的候選數也都正確。
2. 必須只有一個空格恰好有三個候選數，其餘所有空格都恰好有兩個候選數。
3. 假想從有三個候選數的格子中刪去一個數字後，每個剩餘候選數字在其出現的所有行、列、宮中，都必須恰好出現兩次。已經填入的數字，其候選數出現次數為0。
4. 因此，刪除之前，該數字在特殊格子所在的行、列、宮中各出現三次。不能只數完一行或一列中的三次就結束檢查。

所有空格都有兩個候選數，且各行列中的候選數出現次數也都是兩次，這種狀態稱為BUG。如果這種狀態有解，翻轉這些選擇還會得到另一個解，因此不可能只有一個解。它也可能無解。唯一解盤面不能留下這樣的狀態，所以要在特殊格子中填入打破BUG的那個額外候選數。

範例——r7c6的額外候選數是什麼？

c1c2c3c4c5c6c7c8c9

r1r2r3r4r5r6r7r8r9

68

7

36

89

5

1

39

4

2

9

1

5

2

4

3

7

8

6

28

4

23

7

6

89

39

5

1

4

2

8

69

3

69

5

1

7

5

6

9

4

1

7

2

3

8

1

3

7

58

2

58

4

6

9

3

8

26

56

7

256

1

9

4

7

9

1

3

8

4

6

2

5

26

5

4

1

9

26

8

7

3

★

★ r7c6的候選數是2、5、6。其他空格都只有兩個候選數。請數一數數字6的位置。

• 第7行：r7c3、r7c4、r7c6三個位置。
• 第6列：r4c6、r7c6、r9c6三個位置。
• 第8宮：r7c4、r7c6、r9c6三個位置。

去掉r7c6的6後，這三個區域中的6也各剩兩個位置，其他所有候選數在各行列中的出現次數也都是0或2。這個盤面已透過回溯法確認只有一個解。因此，r7c6=6。填入2或5就與唯一解前提不相容。確定後，排除同一行、列、宮中的候選數6，再回到基本解法。

不適用的情況與常見誤解

• 不知道有多少個解。 只有在生成器保證唯一解，或另行驗證過的盤面中，才能使用這個前提。在邏輯求解器中啟用BUG+1，本身並不等於檢查解的唯一性。
• 有兩個或更多格子各有三個候選數。 這不滿足本文BUG+1的條件。
• 候選數數量正確，但各行列中的出現次數不對。 這不是BUG，不能確定額外候選數。
• 漏記了候選數。 錯誤筆記形成的BUG形狀，不能作為依據。
• 以為BUG一定恰好有兩個解。 這裡需要的只是它不可能有唯一解這一事實。如果存在彼此獨立變化的部分，解可能更多。

非唯一解反例——即使條件相同，也不能確定為8

c1c2c3c4c5c6c7c8c9

r1r2r3r4r5r6r7r8r9

8

7

6

9

5

1

3

4

2

9

1

5

2

4

3

78

78

6

2

4

3

7

6

8

9

5

1

4

2

8

6

3

9

5

1

7

5

6

9

4

1

7

2

38

38

1

3

7

8

2

5

4

6

9

3

8

2

5

7

6

1

9

4

7

9

1

3

8

4

6

2

5

6

5

4

1

9

2

78

378

38

★

這個反例是從生成器的完整盤面中刪去已知數，再用邏輯解法整理後找到的。有三個候選數的格子只有r9c8，看起來像額外候選數的數字是8。第9行的r9c7·r9c8·r9c9、第8列的r2c8·r5c8·r9c8、第9宮的r9c7·r9c8·r9c9中，8都各出現三次。其他候選數的出現次數也都是0或2，因此，除唯一解以外，BUG+1的候選數條件全部滿足。

但解的數量檢查結果是至少2個（檢查器找到兩個就停止）。如果不確認解的唯一性就啟用BUG+1，求解器會建議r9c8=8。然而，下面兩種完成方式也都符合行、列、宮的規則，因此這個數字並非必須填入。除以下七個格子外，圖中的其他數字都保持不變。

空格	完成方式A	完成方式B
r2c7	7	8
r2c8	8	7
r5c8	3	8
r5c9	8	3
r9c7	8	7
r9c8	7	3
r9c9	3	8

r9c8在A中為7，在B中為3。因此，「r9c8一定是8」的結論是錯誤的。雖然也存在r9c8為8的解，但選出一個可能的解，與確定一個在所有解中都成立的數字，是不同的。這個反例是多解造成的實際失敗，並不是漏記候選數形成的假象。

練習題

c1c2c3c4c5c6c7c8c9

r1r2r3r4r5r6r7r8r9

8

24

39

49

7

6

23

5

1

1

24

39

5

49

8

7

6

23

5

6

7

3

1

2

4

9

8

6

9

5

2

3

1

8

4

7

7

3

1

8

6

4

9

2

5

2

8

4

7

5

9

1

3

6

39

7

2

49

8

5

6

1

34

39

5

6

1

49

7

23

8

234

4

1

8

6

2

3

5

7

9

★

★ r8c9的候選數是2、3、4。這個盤面也有唯一解。應該填入哪個候選數？請用座標寫出它各出現三次的三個區域。

查看答案

答案是r8c9=3。第8行的3位於r8c1、r8c7、r8c9，第9列的3位於r2c9、r7c9、r8c9，第9宮的3位於r7c9、r8c7、r8c9。去掉r8c9的3後，包括其他空格在內，所有候選數在其出現的每個區域中都只剩兩次。由於唯一解前提，必須避免這個BUG狀態，因此要填入額外候選數3。

接著閱讀

預備知識是數獨候選數怎麼記和解數獨一定要假設或猜測嗎？。接著請閱讀AIC入門：交替連接強鏈與弱鏈能排除什麼？。

範例盤面是透過sudoku-core生成器與邏輯求解器找到的自製盤面，種子、難度和步驟編號已記錄在中繼資料中。定義參考：HoDoKu解的唯一性。