BUG+1: ठीक एक हल होने की पूर्वशर्त क्यों ज़रूरी है?

क्या केवल तीन संभावित अंकों वाला एक खाना खोजना काफ़ी है?

BUG+1 ठीक एक हल वाली पहेली की ऐसी खास स्थिति का उपयोग करता है जिसमें लगभग सभी खाली खानों में दो-दो संभावित अंक हों। लेकिन केवल “एक खाने में तीन संभावित अंक और बाकी में दो” दिखना काफ़ी नहीं है। हर पंक्ति और स्तंभ में अंक के आने की संख्या भी जाँचनी है और सबसे ज़रूरी है ठीक एक हल होने की पूर्वशर्त।

हल की एकमात्रता, हर पंक्ति, स्तंभ और खंड में 1 से 9 तक हर अंक एक बार भरने के नियम से अलग है। उन सभी नियमों का पालन करने वाले दो या अधिक पूरे बोर्ड हो सकते हैं। खुद दर्ज किए गए बोर्ड या दिए गए अंक हटाकर बनाए गए बोर्ड में पहले हल की एकमात्रता जाँचें।

लागू करने की शर्तें — पहले पूर्वशर्त, फिर खानों और संभावित स्थानों की गिनती

1. मौजूदा बोर्ड का ठीक एक हल होना चाहिए और पहले भरे गए अंक या हटाए गए संभावित अंक भी सही होने चाहिए।
2. केवल एक खाली खाने में ठीक तीन संभावित अंक हों और बाकी हर खाली खाने में ठीक दो हों।
3. तीन संभावित अंकों वाले खाने से एक अंक मन में हटाकर देखें। बचा हुआ हर संभावित अंक जिस भी पंक्ति, स्तंभ या खंड में आता है, वहाँ ठीक दो बार आना चाहिए। पहले से भरे हुए अंक के संभावित स्थानों की संख्या 0 होती है।
4. इसलिए हटाने से पहले वह अंक खास खाने वाली पंक्ति, स्तंभ और खंड, तीनों में तीन-तीन बार आता है। केवल एक पंक्ति या स्तंभ में तीन बार गिनकर रुकना नहीं है।

जब सभी खाली खानों में दो-दो संभावित अंक हों और हर पंक्ति, स्तंभ व खंड में हर मौजूद संभावित अंक दो-दो बार आता हो, तो उस स्थिति को BUG कहते हैं। यदि उस स्थिति का कोई हल है, तो विकल्प पलटने से दूसरा हल भी मिलता है, इसलिए ठीक एक हल नहीं हो सकता। कोई हल न होना भी संभव है। ठीक एक हल वाले बोर्ड में वह स्थिति बनी नहीं रह सकती, इसलिए BUG को तोड़ने वाला एक अतिरिक्त संभावित अंक खास खाने में भरते हैं।

उदाहरण — r7c6 का अतिरिक्त संभावित अंक कौन-सा है?

c1c2c3c4c5c6c7c8c9

r1r2r3r4r5r6r7r8r9

68

7

36

89

5

1

39

4

2

9

1

5

2

4

3

7

8

6

28

4

23

7

6

89

39

5

1

4

2

8

69

3

69

5

1

7

5

6

9

4

1

7

2

3

8

1

3

7

58

2

58

4

6

9

3

8

26

56

7

256

1

9

4

7

9

1

3

8

4

6

2

5

26

5

4

1

9

26

8

7

3

★

★ r7c6 के संभावित अंक 2, 5, 6 हैं। बाकी हर खाली खाने में केवल दो संभावित अंक हैं। अंक 6 के स्थान गिनें।

• पंक्ति 7: तीन खाने r7c3, r7c4, r7c6।
• स्तंभ 6: तीन खाने r4c6, r7c6, r9c6।
• खंड 8: तीन खाने r7c4, r7c6, r9c6।

r7c6 से 6 हटाने पर इन तीनों क्षेत्रों में 6 के दो-दो स्थान बचते हैं और बाकी सभी संभावित अंकों के हर पंक्ति, स्तंभ व खंड में स्थानों की संख्या भी 0 या 2 होती है। इस बोर्ड का ठीक एक हल होना पीछे लौटकर विकल्प जाँचने की विधि से सत्यापित किया गया है। इसलिए r7c6=6 है। 2 या 5 भरना ठीक एक हल होने की पूर्वशर्त के साथ मेल नहीं खाता। अंक पक्का करने के बाद उसी पंक्ति, स्तंभ और खंड के संभावित अंकों से 6 हटाएँ और बुनियादी तरीकों पर लौटें।

कब लागू नहीं होता और आम गलतियाँ

• हल की संख्या पता नहीं है। यह पूर्वशर्त केवल ऐसे बोर्ड में इस्तेमाल करें जिसकी एकमात्रता जनरेटर सुनिश्चित करता हो या जिसकी अलग से जाँच की गई हो। तार्किक हलकर्ता में BUG+1 चालू करना अपने आप में एकमात्रता की जाँच नहीं है।
• तीन संभावित अंकों वाले दो या अधिक खाने हैं। यह इस लेख के BUG+1 की शर्तों में नहीं आता।
• खानों में संभावित अंकों की संख्या सही है, लेकिन पंक्ति, स्तंभ या खंड में आने की संख्या अलग है। यह BUG नहीं है, इसलिए अतिरिक्त संभावित अंक पक्का नहीं कर सकते।
• कोई संभावित अंक छूट गया है। गलत नोट्स से बना BUG जैसा आकार प्रमाण नहीं है।
• मानते हैं कि BUG के हमेशा ठीक दो हल होंगे। यहाँ ज़रूरी तथ्य यह है कि उसका ठीक एक हल नहीं हो सकता। स्वतंत्र रूप से बदल सकने वाले हिस्से हों, तो और अधिक हल हो सकते हैं।

एक से अधिक हल वाला प्रतिउदाहरण — बाकी शर्तें समान होने पर भी 8 पक्का नहीं कर सकते

c1c2c3c4c5c6c7c8c9

r1r2r3r4r5r6r7r8r9

8

7

6

9

5

1

3

4

2

9

1

5

2

4

3

78

78

6

2

4

3

7

6

8

9

5

1

4

2

8

6

3

9

5

1

7

5

6

9

4

1

7

2

38

38

1

3

7

8

2

5

4

6

9

3

8

2

5

7

6

1

9

4

7

9

1

3

8

4

6

2

5

6

5

4

1

9

2

78

378

38

★

यह प्रतिउदाहरण जनरेटर के पूरे बोर्ड से दिए गए अंक हटाकर और तार्किक तरीकों से आगे हल करके खोजा गया है। केवल r9c8 में तीन संभावित अंक हैं और अतिरिक्त संभावित अंक जैसा दिखने वाला अंक 8 है। पंक्ति 9 में r9c7·r9c8·r9c9, स्तंभ 8 में r2c8·r5c8·r9c8 और खंड 9 में r9c7·r9c8·r9c9 पर 8 तीन-तीन बार बचा है। दूसरे संभावित अंकों के स्थानों की संख्या भी 0 या 2 है, इसलिए ठीक एक हल होने को छोड़कर BUG+1 की संभावित अंकों वाली सभी शर्तें पूरी हैं।

लेकिन हल गिनने पर दो या अधिक मिलते हैं (जाँचकर्ता दो हल मिलते ही रुक जाता है)। हल की एकमात्रता जाँचे बिना BUG+1 चालू करें, तो हलकर्ता r9c8=8 सुझाता है। नीचे दिए गए दोनों तरीके भी पंक्ति, स्तंभ और खंड के नियमों का पालन करते हैं, इसलिए वह अंक भरना अनिवार्य नहीं है। नीचे के सात खानों को छोड़कर चित्र के सभी अंक वैसे ही रहते हैं।

खाली खाना	पूरा करने का तरीका A	पूरा करने का तरीका B
r2c7	7	8
r2c8	8	7
r5c8	3	8
r5c9	8	3
r9c7	8	7
r9c8	7	3
r9c9	3	8

r9c8 में A के अनुसार 7 और B के अनुसार 3 है। इसलिए “r9c8 में 8 ही होना चाहिए” वाला निष्कर्ष गलत है। 8 वाला हल भी मौजूद है, लेकिन एक संभव हल चुनना और सभी हलों में सही रहने वाला अंक पक्का करना अलग बातें हैं। यह कई हल होने से पैदा हुई वास्तविक विफलता है, संभावित अंक छोड़ देने से बना झूठा आकार नहीं।

अभ्यास

c1c2c3c4c5c6c7c8c9

r1r2r3r4r5r6r7r8r9

8

24

39

49

7

6

23

5

1

1

24

39

5

49

8

7

6

23

5

6

7

3

1

2

4

9

8

6

9

5

2

3

1

8

4

7

7

3

1

8

6

4

9

2

5

2

8

4

7

5

9

1

3

6

39

7

2

49

8

5

6

1

34

39

5

6

1

49

7

23

8

234

4

1

8

6

2

3

5

7

9

★

★ r8c9 के संभावित अंक 2, 3, 4 हैं। इस बोर्ड का भी ठीक एक हल है। कौन-सा संभावित अंक भरना चाहिए? वे तीन क्षेत्र और उनके निर्देशांक लिखें जहाँ वह तीन-तीन बार आता है।

उत्तर देखें

r8c9=3 है। पंक्ति 8 में 3 के स्थान r8c1, r8c7, r8c9, स्तंभ 9 में r2c9, r7c9, r8c9 और खंड 9 में r7c9, r8c7, r8c9 हैं। r8c9 से 3 हटाने पर दूसरे खाली खानों समेत हर संभावित अंक हर उस क्षेत्र में दो-दो बार बचता है जहाँ वह आता है। ठीक एक हल होने की पूर्वशर्त के कारण उस BUG स्थिति से बचना ज़रूरी है, इसलिए अतिरिक्त संभावित अंक 3 भरते हैं।

आगे पढ़ें

आवश्यक पूर्वज्ञान के लिए सुडोकू में संभावित अंक कैसे लिखें और क्या सुडोकू में अनुमान लगाना ज़रूरी है? पढ़ें। इसके बाद AIC का परिचय: मजबूत और कमजोर संबंध बारी-बारी से जोड़ने पर क्या हटाएँ? पढ़ें।

उदाहरण बोर्ड sudoku-core के पहेली जनरेटर और तार्किक हलकर्ता से खोजे गए स्वयं बनाए बोर्ड हैं। सीड, कठिनाई और कदम की संख्या मेटाडेटा में दर्ज हैं। परिभाषा का संदर्भ: HoDoKu Uniqueness।